ピーターパンに憧れて

21歳の大学生が普段の生活の中で気になったことを気まぐれに書いています.

解説を聞いても理解できない? 「モンティ・ホール問題」

f:id:road-to-the-victory:20170321175635j:plain

最近,貴志祐介の「悪の教典という本を読んでいるのですが,

第8章(下巻 p77)で高校数学の確率の問題を解くところがあるのですが,

この問題がなかなかの強者で,少し苦労したので紹介したいと思います.

(別に読書するだけなら流し読みでいいところなんですけどね・・・)

 

モンティ・ホール問題

3つの扉,A・B・Cがある.1つだけ扉を開けることが許され,

奥にあるものを獲得できる.1つの扉の奥には豪華賞品があり,

残りの2つの扉の奥には何もない.

①任意の扉―扉Aを選んで,商品を獲得する確率を求めよ.

②扉Aを選んだあと,司会者が残りの2つの扉のうち,空である方

 (便宜上Cとする)を開けて,何もないことを示した.

 ここで,扉Aか扉Bか,もう一度選択されるとする.

 どちらを選んだ方が有利か.それぞれを選んだ場合に賞品を

 獲得できる確率を求めよ. 

 

この問題は「モンティ・ホールの問題」と名前が付いている問題で,

通例では,不正解の扉の後ろにはヤギがいるらしいですが,

とりあえず,「悪の教典」に載っていた通りに問題を書きました.

 

①は簡単ですよね.1 / 3 で33.3%です.

では②はどうでしょうか.

 

正しい答え・間違いの答え

まず,間違いの答えから.

直観で考えれば,「Aを選んだ場合もBを選んだ場合も50%」

と答えをだしてしまいそうです.

 

問題文を読んだ時点でおそらくAを選んだ場合とBを選んだ場合では

確率が違うのだろうし,わざわざ記事にするぐらいなので,

50%ではないのだろうと予想が付いてしまいますけどね.

 

正しい答えは,

「Aを選んだ場合は33.3%,Bを選んだ場合は66.7%」

になります.

 

なぜ確率が変わるのか①

この問題,高校数学でいうところの「条件付き確率」というやつです.

数式で書くこともできますが,高校数学からすでに2年以上離れている

僕に数式で分かりやすく解説できるとは思えないので,

実際に「悪の教典」に載っていた解説のところを載せておきます.

扉Aを選んだあとで,「ファイナルアンサー?」と訊かれて

気が変わり,扉Bか扉Cに選びなおしたと考えてみろよ.

なんとなく扉Bに変えたとしても,豪華賞品をゲットできる

確率は,扉Aと同じ33.3%のままじゃん。ところが,そのときに,

フィフティ・フィフティが残っているのを思い出して,

はずれの選択肢を1個消去したというわけ.結果的に,扉Bと

扉Cを両方選んだのと同じだから,確率が倍になるのは

わかるだろう?

とあります.

 

この解説で理解できましたでしょうか?

なんだかモヤモヤした気分になっている人もいるかと思いますから,

もう一つだけ解説を載せておきたいとおもいます

 

なぜ確率が変わるのか②

プレイヤーが扉Aを最初に選んだとしましょう.

もちろんプレイヤーに正解はわからないので,

この時点ではA・B・Cのどの扉を選んでも対等です(同様に確からしい)

 

この時点で扉Aが当たりの確率は1/3.

扉Bまたは扉Cが当たりの確率が2/3です.

 

なのでもちろんプレイヤーが当たる確率は1/3.

プレイヤーが外れる確率が2/3です.

 

プレイヤーが扉を変えた場合と,変えなかった場合で場合分けします.

(i)プレイヤーが扉を変えた場合

 もし,プレイヤーがファーストチョイスで当たっていたのに,

 セカンドチョイスで扉を変えたなら,当たる確率は0です.

 逆に,プレイヤーがファーストチョイスで外れていたとき,

 セカンドチョイスで扉を変えたなら,当たる確率は1です.

 よって,プレイヤーが扉を変えた場合,当たる確率は,

 1/3 × 0 + 2/3 ×1 =2/3.よって66%.

 

(ii)プレイヤーが扉を変えなかった場合

 もし,プレイヤーがファーストチョイスで当たっていて,

 セカンドチョイスで扉を変えなかったら,当たる確率は1です.

 逆に,プレイヤーがファーストチョイスで外れているのに,

 セカンドチョイスで扉を変えなかったら,当たる確率は0です.

 よってプレイヤーが扉を変えなかった場合,当たる確率は,

 1/3 × 1 + 2/3 × 0 = 1/3.よって33%

 

(i)(ii)より,「プレイヤーは扉を変えた方がいい」というわけです.

 

まとめ

この問題,問題自体は簡単だし,直観で解けそうなのですが,

「直観で答えると間違えるし,解説を聞いても理解できない!」

という人が続出する問題で,

「モンティ・ホール・ジレンマ」という言葉があるぐらいだそうです.

たまたま本を読んでいて出てきたので紹介してみました.

広告を非表示にする